出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
" w4 Z  _$ @0 U4 e3 F0 q1 ?3 C
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
: x5 x) G/ @" m$ A1=2
+ j' b  C% |! }/ ?& @0 V+ R( V8 t% d! b: f
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

: _) u5 x6 @7 K0 ]% Y4 o看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
; o( p" X2 r# ~$ K1 L1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

2 @+ S9 W# `9 ?8 F, Q为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
9 J: U0 P$ W8 V" U
# H  P6 H+ t  z, |7 l3 B# VProof:
7 c% B6 @) L4 vLet n >1 be an integer
0 w. M1 r7 A5 I' g! P0 CBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
, E3 O7 C4 b! u- W2 F  D
% E2 g! o' N, R- r/ FInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
/ ?; \. ~3 p+ t1 ]# f1 _                                     K^3 – K can by divided by 3.
( }/ P" v; B- |7 f7 E
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
/ ?6 B, N$ A' x/ I4 M7 Csince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
9 @! O3 E1 ]5 Y+ S3 l- n4 |) t                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
, u5 n  J- T# t6 g5 k" M) S                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
, Y0 E* y! r3 eby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
% \% w8 R% X8 b- C7 s8 YSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
# e. O' s* ?  ?0 R- i. l                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
8 w7 U, R# V) j7 s
" r4 P0 X8 R* z$ p; cConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
4 Y+ U& h# k* z/ A9 A& ^! BShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

! X! w1 Y9 y( c* c# F" y6 a
& a- j1 @& o" V: TSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.