出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？

设  a=b
( }# V/ K! j. p8 T7 u4 \( ]% k
. ?$ f2 |' W* x, T" S则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
4 F, e6 W, N) \) o# x" Sa=2a
" P( V: y4 {: T4 h3 A; O+ V% f! q1=2

" H. t' H) E0 c证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
* r+ k# I3 Q$ o" @# ]
; C6 S* R: o. ]: b2 F9 L' x1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
9 v, a; f* H5 @, J8 W6 z2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
# e0 g# A3 u3 V% C2 B; S1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
" c( _  b6 R5 l' c* o% g/ j- A

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
) {7 f7 R; \5 l  ~9 G, XBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

6 V$ Z" c4 q/ d; H& `Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
. w$ E0 h# }: }
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
3 B& u: q. M0 K. m: Csince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
% M7 @+ j' R, t7 F) j9 @1 rThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
/ K4 J" i9 N5 Y0 g                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
$ X. M3 ~8 d# V2 b6 |                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
: G/ E+ R& h1 ^2 t1 J                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
& I+ ^1 u/ c- o; q( |4 ?
5 l9 |- Y! v  d9 f[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
  X4 y$ k  y9 Z. w/ x) m* k
7 }4 C' M6 |. z$ Y第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

2 D& Q7 J2 T% r9 f
: a% j0 y2 d5 v( R; JSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.