出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
7 b$ e1 e% A4 o9 _  o. F/ Q8 }2 y9 T两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
2 z, w# M, K4 v) x. c& I' X& \a=2a
1=2

+ Z8 l2 O! Q# ]4 S证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

9 a0 z, J4 H, Q* _1）不能。比如1
* q+ P, A& v! b2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
3 F$ @# r3 U% g' S6 d2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
# y6 \) w3 y* G3 [  I2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

' A, q; z6 Y3 w5 W  {& G# P% }5 a! U看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
# A5 M% p/ {" ~' o0 J2 K. w; e' Q1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
% ~( l' h9 F/ k) }- J

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
. z4 f. m) m, E, m" p) m9 P' |0 N
Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
! n3 A* O2 P2 ?8 }+ {         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

! K9 h0 _  c" j' LInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
  T. t6 S0 v9 v, C
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
! s) }6 W2 x. m+ f: A: }! J7 I: K( xsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
, v7 \. A2 P! v  gThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
/ [  q. _0 r7 @7 Q/ {                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
# s. `0 f, Y- X: i% w2 M                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
- ]- X; t$ L3 _1 c                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
, E2 q$ R7 }  m7 d9 ?by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
6 y, F* Y6 U3 \4 ]                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
: A" X' \6 E" d4 ~" T                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

% y0 z( h' g( q4 \8 L[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

3 I, _; P6 @' b2 b4 R  c" Q: @第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

1 s  b2 s' Q% h$ }SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.