出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

' ^1 c, M+ b( }; v0 q( j' g2。下边证明有没有毛病？
9 Z6 t6 C# p/ i- H0 @
7 h& p9 d3 A& {设  a=b

6 O* W2 K! k% r# {则有： a*a-a*b=a*a-b*b
6 F7 X- Y5 I& ?6 v: t9 \; k两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
# A% E( U- }, V1 u0 F/ Y; H, J
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
8 n0 K0 x% \) U6 l7 [, ?1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
# J+ o6 z& T/ t) t
( N& [3 |4 W7 P# J" P# z& w# _1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
( B; y( Y, Z6 V* j& ~7 D! @0 C2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
' g- g# E$ I4 W0 F/ t1 o1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
% C; k, b, F, m4 [2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

, Z2 i0 N1 x, K8 b看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
, T& |; p- V  J$ d4 T; v* _1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

9 v1 t/ \1 f' KProof:
Let n >1 be an integer
, u; O# C) a, z) f' E; LBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
$ R6 y( p8 q6 o" d. ~- G3 {
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
+ ^4 j+ a9 G7 t- c                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
* t7 {' @" G7 e# r, z2 g4 s                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
2 [+ t: H. }, [  l% |$ d) Tby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
6 ~/ l& l! c5 c; ?  C
0 ^: W. j& j) p3 |/ N1 L# J0 O- LConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.