出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
9 Q9 I4 a9 t" N0 C
设  a=b
- e  V" a, ]0 R8 E/ D
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
8 f- A& U6 N( J0 Y4 W; l; `
) O: w3 ?  Q& [a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
) s. Z" d8 c1 }" w( N6 b1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
2 |. ~" z* y7 G3 x3 i
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
6 w7 J) V% I6 m& A8 |- J9 G$ S( q1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

( [/ F. |1 Y: Z; k看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

0 w: y! o( O0 Y3 p! e为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
6 N+ B" e0 t8 D2 }0 s1 f! Q. {" l
3 g* N$ u: L. u! SProof:
Let n >1 be an integer
4 U5 O, I' O8 M2 d$ C! uBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

5 ?% ?6 i) `0 OInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
# r, T4 ]7 P% n6 e. r! w; k+ o                                     K^3 – K can by divided by 3.
8 T  e  l0 i& Y4 P3 w4 ^$ _" e  i
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
4 C0 `, i7 S8 sThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
) S, D4 h0 [& P- E. D5 b: ?% }- b                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
! P2 r2 [$ r  c8 e! F  l                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
' n& [, w# @0 V/ T) a0 PSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
. r5 K3 {2 i# c6 \' ]+ T5 @
: I# F6 B, s$ Y7 a& w+ N5 lConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

. h2 l, ^( c9 F+ V) k, a第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
- ^$ e9 e' I4 f, K# q, eShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.