出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

. t1 i" B& j3 q2 U6 Za(a-b)=(a+b)(a-b)
5 T  ?9 X% [7 H2 _$ N3 ?3 Z7 ]2 c6 @a=a+b
a=2a
1=2

4 q2 b/ m( L) [; `证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

" t- }; d. [0 V! ~1）不能。比如1
/ p* K' Y7 @5 ^- g2 [* _; s2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
$ y! n' \3 g/ n' U2 |2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

1 Z; O- c7 P8 j7 j看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
  P% o: z  a$ S* U5 O& @7 D1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

. ^/ z& D- _- Y  Z, ]! j! h为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
7 A$ X7 U  m. |/ M
2 ~. N6 J; h+ k/ w8 zProof:
Let n >1 be an integer
6 b; W- q8 h9 T5 f$ g# f7 tBasis:   (n=2)
# Q8 n" O; L* S) {$ a5 |         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

3 J/ N+ b" W$ ]1 v9 D. Z% `2 KInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
3 Y0 d1 o0 j. V! f; f, {$ \                                     K^3 – K can by divided by 3.
. R6 c' g- G8 o4 U' r1 g; M
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
: Z3 y1 M) L0 ~9 `* P: Q7 Csince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
$ C/ A5 r6 q6 f7 A/ W. M) hThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
" L( N/ R( I2 y( L% B% h                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
4 f7 Y, r; _% ]                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
# ^$ L1 P6 F9 ?+ i' kby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
* k3 }7 }' Y7 U' s4 x/ J8 j/ USo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
* D$ E4 D* m" y9 A9 J; i                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
8 T3 K. M: {- I+ l                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
/ _+ i5 s" m% i6 c/ A, @
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

( @0 E3 ]( S% j6 h; T( w5 w[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

( r: N4 l/ x( z# J7 L/ Q1 q9 e第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.