出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
. L! ~6 F$ h: U$ ^4 k
: z. a/ w  J$ [2。下边证明有没有毛病？
8 k0 {9 n0 r' s* U( q
设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
* O1 Q. m+ P- p. y2 Z+ o* k; a两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
) m1 {% B& D2 G$ ]! r- N
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
% Y4 t: i. ?% x/ o3 M$ _a=2a
) r3 e  K) i' m# j! Q' J- `5 }, ]1=2
4 |" z) ?( X: v/ x" y" e
+ r! A2 e" o, B; b  K) R* \证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

( ^+ Q6 G) P9 \- Q( h0 H3 \1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
- \: L( P1 e$ |% k4 Z- v. [; {2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
2 d! }+ Y8 B! K1 E2 O' W8 r# q1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

8 _' A' k& M6 K1 A看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
4 n" N& p) ?" n1 _. u

7 g0 e6 \: y1 E5 l' h: E( |为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
2 U$ p+ L- M; v! L: I! E
% p5 K, v- \# t* BProof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
- A$ ]# J2 z/ I8 Y* ?5 h% _         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

5 C( u6 `' z2 \' z& x6 V$ LInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
' h8 U7 U* t' ?* N8 y5 a6 l. c: O, Q
; m6 j/ J9 i8 A! z1 aNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
8 D8 l" d( }1 M1 I( d2 I+ q8 j6 f                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
. m$ B  E; M; K5 z) Sby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
$ \0 g. J! Q& p* c* TSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
5 r9 A* g. p' C1 S
8 T' t/ Z3 n- O" pConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
. c3 I) N4 q2 P, ?0 j# C# {4 M
. p+ K" U, E. R, p, ^" ?' Z: L[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
/ h- T3 `8 p" L" d7 L  u; `
+ G8 n+ o3 H! ]第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
1 @8 p- H6 R3 \5 H% IShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

- ^# z( B% {5 H( N4 _% _SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.