出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
7 k( q5 r. I9 D6 G* D& K
2。下边证明有没有毛病？
' H7 y8 q% g( Y0 }* H/ w
  a$ k- N) T, W7 x" q设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
6 S! f7 i+ O  a. A两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

; K( ]# I- ~& Sa(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
: M0 j) X& }2 a" {) W0 Aa=2a
) m4 ~0 G" s" C0 ?1=2
9 N& x& v$ K( Y2 A7 m1 t9 v+ q
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1 Z0 u( \7 h. B8 d8 b1）不能。比如1
& @" _8 o0 n3 l; N* {( ^9 a2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
: f$ y3 f0 _/ A: H5 {1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
* H/ o: r6 `% v0 v( I9 {2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
) U0 K( R* V& u2 {( B+ ~

8 }! f# x0 j" ^  X' G1 x为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
- K; Y. g( o. W8 R
$ p% u. R: i+ q) b4 ?0 x4 \Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

2 J3 p9 n; k& Z; p7 lInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
' o, N( M9 i: L: b" D1 Z                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
9 t3 k3 k" L7 h7 c) [4 c  \                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
" w7 ]5 f! T9 U7 d& W5 J$ iby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
  b. s( s/ W7 }; V: P/ o: eSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
$ F: U, F/ ~2 L4 q9 v5 S1 S                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
8 t  g1 q2 x5 @: m7 i! e! Z3 v
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
" U7 W, r. C( }
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

( ?6 K+ U! {' m: Z第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
$ W2 E6 z2 I+ dShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

6 A  L- @- Q$ MSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.