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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
7 k( q5 r. I9 D6 G* D& K4 _: H. I5 a8 O& G
2。下边证明有没有毛病?
' H7 y8 q% g( Y0 }* H/ w
  a$ k- N) T, W7 x" q设  a=b( E3 }8 n2 r, n; x; X0 T) V
/ z2 P4 q$ p- y# f! d4 P- v
则有: a*a-a*b=a*a-b*b
6 S! f7 i+ O  a. A两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):( L' ~( g; @9 n9 _+ b0 i: I) k% q

; K( ]# I- ~& Sa(a-b)=(a+b)(a-b)) p, R8 X4 n& [3 Q3 k
a=a+b
: M0 j) X& }2 a" {) W0 Aa=2a
) m4 ~0 G" s" C0 ?1=2
9 N& x& v$ K( Y2 A7 m1 t9 v+ q# E& {. m# ^  b; r
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试( Y+ N. @: e* t8 @

1 Z0 u( \7 h. B8 d8 b1)不能。比如1
& @" _8 o0 n3 l; N* {( ^9 a2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。5 _/ z: u( `7 T1 e
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
: f$ y3 f0 _/ A: H5 {1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
* H/ o: r6 `% v0 v( I9 {2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
% @, f+ m; Z8 I
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:* U1 y9 a) m: a" B, ~& f! F
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
) U0 K( R* V& u2 {( B+ ~

8 }! f# x0 j" ^  X' G1 x为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
理袁律师事务所
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
- K; Y. g( o. W8 R
$ p% u. R: i+ q) b4 ?0 x4 \Proof: 4 P$ u- }  P2 Y/ d1 F
Let n >1 be an integer . b" ^) L. @* `9 M0 d
Basis:   (n=2)+ d# U. R* @1 f& n' }  f) z8 X+ k
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 38 A0 y8 y& l7 h! F: {1 Z6 U

2 J3 p9 n; k& Z; p7 lInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that6 M, _% ~* M+ e; y7 C
                                     K^3 – K can by divided by 3., Q4 c3 z$ E& O+ \5 Z# ^% Q
$ [" g0 @3 r) h7 A
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3  a$ R( N2 v* D, `. R0 H/ P
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem2 i2 p" w) @, c: O4 S: ]' H
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
' o, N( M9 i: L: b" D1 Z                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
9 t3 k3 k" L7 h7 c) [4 c  \                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)4 U/ z6 P* d4 }
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
" w7 ]5 f! T9 U7 d& W5 J$ iby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
  b. s( s/ W7 }; V: P/ o: eSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
$ F: U, F/ ~2 L4 q9 v5 S1 S                                = 3X + 3 ( K^2 + K)  a( ^0 A$ p; Y2 j
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
8 t  g1 q2 x5 @: m7 i! e! Z3 v8 e" k1 N/ K5 L; s3 ], K, `
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
" U7 W, r. C( }# f0 a+ }. a4 Q6 L
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。; v* [# a- J$ n: \

( ?6 K+ U! {' m: Z第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
$ W2 E6 z2 I+ dShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
" J; O; ]! F& s9 ?0 d6 L* [9 N

6 A  L- @- Q$ MSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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