出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
9 J4 P6 c$ _0 V* `( j) ^
& K1 M& p' S( s" b设  a=b
) j5 w2 |& T( X3 ~, |  q5 r' g
( K# H. g# m  m/ _则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

4 J. z- a& H7 F+ G  I+ ?7 c, r7 g1 sa(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
3 ~( R. K# R, Oa=2a
1=2
' _- K7 g. |9 X9 M4 C
1 v3 r# e# O! S* o. u; O) Q证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
( z5 B9 l% g/ ~% m7 O/ y% Y+ e
1）不能。比如1
3 E$ s- n* L) M* v2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
3 M5 F3 E7 K* F& U0 G! Q) _1 \2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
, |$ {0 S4 |; ~- x: Z9 ]1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

6 D* k! J5 m8 A! i! G, U为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

. [  j3 U/ ~/ ]# \; ~' T2 y) \Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

$ B# _, B" b* i0 S( V5 `Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
! l2 P! k4 b: f8 ]' U1 m                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
# f7 s+ n0 F4 A# n3 {5 V+ @by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
) H! u$ k, [: D0 Z) }# w                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
) \: }2 B# ^# T0 |4 q. M
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

8 o) ?7 c6 o+ l, _' S8 o0 e' k1 U[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

8 o3 o7 X+ T6 X) ?第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.