出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？

设  a=b
( |% c# x9 o: |" r6 x- i9 I
  e8 _9 P4 C; U7 L4 O: S则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
; c8 V" M' W8 Y5 U( @" S& E- m- G
a(a-b)=(a+b)(a-b)
5 B" I' l) q2 x( h# z0 r& ba=a+b
a=2a
1=2
; h5 q/ F$ M( R2 k5 O
8 I- r. n9 ?- H2 B) P" |5 w2 z; O证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
. b( w. T) Q. i$ T" q0 x" J
) V* m( m0 p) m" T, N  j/ ^" h2 K. L! V, T1）不能。比如1
) |. |( ]/ ^: i) b; v2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
, P7 ^& N1 I1 v# e+ P2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
- _( D6 Y1 z$ Z* J2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
) x; Z0 ?& B& z: J

% ~) a  J0 ^* X% M+ @9 Y3 X3 M为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
5 _" j$ U: c: E3 ?5 J  A& m
Proof:
* [1 u3 x; B& A, oLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
* t$ i) `& ?; `5 @1 F* N         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

- {7 Z' q( A, e. j( E& k+ B4 VInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
$ {* ]3 ~7 L9 ]
7 z. h, r% g( L5 L; x; @Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
+ {9 V. G# O, ~1 j4 ]7 Usince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
. o& ~: {$ x/ V( s0 XThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
: {4 T. E. ]2 ~- y- S                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
) b- S; M- u6 g/ i( @4 ?                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
7 @% [* C5 }# n' Bby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
5 {# N# h. K4 x: s! P; |                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
( }" H) h  ]" D8 K" c                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
2 h" H" J$ h, Y6 n+ f) h. }1 f
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
0 N$ J4 l" C& C; Q
. u& {. `- t9 f7 Y" `: G第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

7 i8 l7 U6 R& n
; [# [6 N! b* J! ]8 W( Y. vSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.