出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？

# \. `8 }- B2 r8 ~/ c8 a! l- c设  a=b
9 q+ O5 V( D2 k  v" y" L- `
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
6 X+ S/ U' e) d0 g/ u% k两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
. m, P/ k* ^: X$ B
" t& m$ e2 o; Z# u7 ^  m" V) t' [a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
1=2
/ l* b6 w: I# |7 ?* @9 D% n
. _7 c6 \/ Y- E* F* q证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
7 R) R1 ~% ~# R4 b0 z+ \
& K# v0 d6 |  W1）不能。比如1
3 Q5 e+ n& j0 {: t2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
% L" c: R' n0 x$ w  a1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
* e6 e6 b/ M8 g  u, y/ c3 T2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
. K  z; q+ `: x' ?2 n6 }1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
  B* A$ s9 j: R4 k: }. a: K" T

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
1 d/ S1 q& T8 S' \: Z! ~Let n >1 be an integer
; k* p: o' C; x7 b* n2 d) cBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
0 p  `, |% Y6 h& h* f6 v
( }7 s6 D* X' g6 DInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
& o( Q1 W5 ]- p% @2 B# V                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
/ W8 s, ~& u8 [' l3 kby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
2 J  T" i0 S8 ~2 K+ i+ d
2 H* B+ M1 e+ [' eConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
, M( z! Y7 E+ C+ |  p5 k' I2 L
$ x' c& G5 L8 i' x! W6 w9 P1 M[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
) w  j2 U1 D0 V$ Q7 Y. k# x
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
  q) ?; {4 v# I' N" F, x6 C5 tShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

, @& v, z6 {% P# f
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.