出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
' S/ O3 M! f; [/ Y% \- L8 d8 M9 }
设  a=b
: k# Z4 ~3 i+ b7 m5 e, N- N7 e( i
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
! ~( C+ C$ E' Q  P. i两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
* U. l6 p% J1 Z' L3 v% ?# \% b, r1=2

. S1 V) l3 k: t- f7 {& L0 s证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

3 C1 _4 x; l" l/ X( [; }1）不能。比如1
0 A3 Z! f/ t$ Q: g# C7 J2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
  n- B8 }% I/ ^7 g( ?  g4 q/ b2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2 M/ f, y9 c( S+ T2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
. P) a: S# E- ~$ a, O) ^0 k1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
# X, g2 w+ @- w6 }9 n  J

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

/ q2 t+ Q8 {6 Y/ p7 V5 wProof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
/ c! T0 L9 @+ c# ^+ e  \, d5 H5 Y         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

* y. e; w5 m) U4 KInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
7 y, W. I6 I% l( S: j+ z5 W                                     K^3 – K can by divided by 3.
( S! \# ]! G  N0 o2 C( o
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
8 F& l: M# e0 E0 P; M# m, l, r* e                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
! z: \+ I+ M) a& Q% q                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
5 s6 M7 m# N- r                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
: x4 q: @9 y; qby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

. B8 w$ G% C& Q[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
2 F3 y! l; k) `, n8 o
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
3 z6 ~( O: ^( C* c: r3 FShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

9 D8 E) [+ C: x
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.