出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
, e' x4 A# O) z' B7 N$ g4 F
2。下边证明有没有毛病？
2 V' B$ `4 Q* h
! w% T& E3 ~0 Q! X3 }, g设  a=b
* f2 ~/ g, N  l# K6 ^! W- J, T6 m
4 f; F  J+ H: ?+ }6 [7 `则有： a*a-a*b=a*a-b*b
1 \% j+ e+ j1 O: u0 {0 j/ `: t9 {两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
/ ~) M+ Q8 d# n1 d0 ]3 H
a(a-b)=(a+b)(a-b)
+ r# Q7 O2 g  s* v7 Qa=a+b
1 O& \2 w5 P7 {. l& La=2a
4 l& g) R# ^% i3 _: g% L0 V# \1=2
% S/ q! T. d: K& R' n
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
' K3 Z6 U* U# F" W) g
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
! p- m& }: _. o$ ~2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
( c0 v# C2 M* d4 Z8 c% N1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
" b# P; ~/ D: h" U6 _

  K/ n, h6 F  N" o" w0 j/ X为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

4 S) d7 z# }. S0 `6 ?Proof:
0 y! e6 C, I: L9 E9 jLet n >1 be an integer
5 K" }9 g7 S& \1 l& Z3 I5 M3 YBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
$ d2 u& O+ B4 Z- D3 m+ q" b; j
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
( E" R5 ?4 m+ x: U; E, _3 X- V1 Z8 psince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
# Y$ G+ }) X/ j% ~7 r2 _' N, u/ fThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
5 P1 V( M# S1 H+ s) C( d- ^. e                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
2 j* d7 K" w: J5 f                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
4 |9 ~- C+ a! I4 j( w
. d1 }2 E$ d6 T' G3 M& C* k; YConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
' V. h- x, u9 i$ Z
- b; ?* O* a1 c* w[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
" Z! q9 c, V) l
  v4 k2 {& r' L# ]第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
; W( v8 L; d8 P% E' |$ TShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

  h, U' B' R7 E. @  ISORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.