出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

4 i7 y, l" F! P, }# J8 l& t2。下边证明有没有毛病？
; M4 p5 a0 R% S
7 u. o* J9 z! v* k$ n- Z+ f设  a=b
9 j+ L4 c$ ^9 f0 Q9 k
9 r3 ?# U' P+ Q" j, W. _$ |. H9 y则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
- A: P- N4 O& \4 M! h& N9 a. I7 d
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
1=2

+ W# J& d1 f4 L证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
/ v1 u5 ^/ ]! m4 i% I) B, Q
" l) t" I8 x! t* M5 e2 m# D1）不能。比如1
. x3 Z7 H$ h% m- Q) T4 [2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
; q# J0 J. m' n( ]/ }& j) i1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

' t( D) S7 \' w+ W. p( j为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
! D2 ^1 ~& d& W& k) t: v
Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
: y; W2 [/ ?0 o5 T         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
& b( A- u6 c5 t( q
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
! ?+ L+ B' V: c& }3 r$ Gsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
# S: h& E/ [3 s/ w3 Sby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
) {; `4 _2 {4 g4 f( |6 e8 t# ?$ mSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
2 p9 ^5 D: W3 L* l; G
6 a3 }% E  c6 s; X' ~; AConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

7 Z2 \1 \/ \! N+ e% F[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
% [8 J  |$ U; O( o; d* S$ p% C
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

+ H6 a: }. B0 g- u7 pSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.