出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
5 w! m  m! a. T& }
+ }+ E1 Q6 ?2 b6 G9 i设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
# ^+ u6 s+ J% d+ ?! D/ Y
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
/ H, R; b4 r$ t: e+ f3 Sa=2a
1=2
+ t% P/ Z. ^$ W5 O& L) k8 ^
6 C9 T& _$ g: I; e) P证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
, ]: H4 w3 N) M8 s1 O; O& ^2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
: s& d$ J. n& T
% ^) X# `. ]% ?Proof:
Let n >1 be an integer
8 ]/ |. G6 G5 W1 t* ZBasis:   (n=2)
% I! a# `1 [: |3 c3 c* a& ?         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

& Y4 C" m4 [0 T7 [# sInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

% L  `7 d  A- J8 k$ R, VNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
* T* f5 i- E0 b& `! L0 `& T2 KThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
: r4 ?6 h0 b0 q1 B                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
; T( N% E7 u4 U+ g" P" g- zby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
  x) w# k7 _- m  J1 r
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
1 Y; }6 X  u/ }% e6 {
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.