出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
! i3 {" W) l% b$ q
& _- n! ~5 N' T- h$ U7 K9 [2。下边证明有没有毛病？

设  a=b
/ @4 D+ b4 p' e3 @8 Z( n
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
+ p0 m# X. E9 J" L两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

, n5 g  w% @0 C2 l7 o1 v; ya(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
4 K+ T* I+ U3 B' O4 D5 w6 Za=2a
) S9 q5 r+ G7 ~! g) X5 E1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

8 l0 a0 K- _6 Z1）不能。比如1
4 H! G8 B8 X4 ~; G4 M2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
7 ^1 s7 d  M$ r% x2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
- `) A; ^; V5 P1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
" u6 }9 q* W! h* ]7 f2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

6 ~6 n2 _/ h5 \, a看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
( S6 V! g- a4 u6 o3 J

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

7 \7 K8 r. `+ gProof:
3 Y2 Q4 @; o) m/ [2 Y0 ?! BLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

) r$ V5 X" G+ Y; }  `8 J) PInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
3 t: P7 O' I9 `8 b/ W
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
5 G/ j4 |+ M  ], }3 f+ [9 p! CThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
$ A! i2 `' q" [, w: a+ ^. k, \                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
3 _/ w# y4 p* _) |by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
5 y( z0 H) j/ P- O2 G: ^4 }                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
+ }/ ^" e& E/ _& f                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
1 q' N! Y0 M1 t- x; P: l
0 ?3 h. _. g+ b5 Z7 c6 w- _, X7 S9 Z  AConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
7 P& F/ }: _% _8 t
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

/ {1 s; R+ p3 `. b
8 N0 g; `9 d0 B) ?+ uSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.