出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

7 y+ n" z, B+ R8 {2。下边证明有没有毛病？
2 f9 [2 x( P3 d( d9 L
设  a=b
+ _/ [4 k2 S. m
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
6 M1 u  {  b) U: n0 T. v两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
  y4 f" Z! j5 I5 G$ Y
, I# _" s9 L8 b4 X5 L. ~9 s2 Qa(a-b)=(a+b)(a-b)
7 R% H$ u0 O; _a=a+b
a=2a
1=2
7 {, o2 `4 P6 U+ f+ P( g
0 j# z' ?1 J/ j+ I. j证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
4 n. o  V7 k+ ~/ @) }
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
. ^- o* D& n6 w% f- f5 X( r% @2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

# L$ |! l6 ?$ d: G5 [7 `看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
8 D. H3 ^9 j- {. d' R

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
, p7 r% e  ?5 K* l
- n$ a8 o3 M+ G7 @+ `Proof:
Let n >1 be an integer
( s- a1 S7 r9 p. p) E5 aBasis:   (n=2)
" s- X  U! b" U/ Q: E; w% z         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
6 m$ v# ?/ [/ z6 f" X3 e
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
' v* {" O( P/ {+ u0 w2 S6 W
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
2 U+ B, F3 r# @) x2 j2 y6 g+ m1 w$ AThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
4 d' `4 z  k5 K7 P& z' G                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
7 z  V, S3 I' G0 p% q1 w! x+ f* ^So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
4 b! _6 E8 L; o! d                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
8 T0 K1 M8 q! a: R! q7 @5 o9 h                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
& J( r& ~- x  j# \9 p- |7 ~9 `
! g. H/ G. Q1 |2 j1 T( iConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
1 U" ?2 l" O1 Y# J9 m  h3 H
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
' [. e2 R+ c5 g; E. b# FShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

3 ]9 _) d3 \% K: u$ G" S
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.