出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
! [- M$ Q1 e( F6 a5 `- u: f7 J' a
. H  G  Z! L2 v( i; E2 [: x. l2。下边证明有没有毛病？

设  a=b
5 y/ s5 r* v3 \4 m# N2 Z
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
+ ], n4 ?; A# @) {+ J5 e1 }! D; |两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
2 W2 _2 L, H6 ^1 J) T$ y+ k
3 M$ H! A7 N5 pa(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
+ H3 L7 P  L! i2 r1 H$ c# B1=2
0 E" R4 P9 j  e& f0 F: {6 j
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
/ z1 V7 x; W% _/ a9 ]; y0 v2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

, c) \# Z, r# m  q* ^' p6 s看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
  y1 g8 z2 Q! H+ K) L  m& H5 w6 k1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
" P; S+ u0 o2 T  E

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
: k! A7 m7 K$ I/ D! K0 G, ^  B$ E
Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
* O& b3 z8 {& I         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

: q8 U5 U" K  ?" Q" r# H- Z5 P; U0 e4 L+ QInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
7 F7 G8 ^3 l, A' y% P$ {- R& R4 o1 A                                     K^3 – K can by divided by 3.

/ W/ k8 i2 q0 \. T6 [Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
$ }& B- L( |; t# ?Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
3 x! Z7 O* T3 iSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
' q  ?! U  F# p4 i& {$ q  n" d                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
4 R; V$ J! a9 n  O* L                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
3 N4 ^9 Y4 q* M1 N6 ~) j
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
! u$ E( A$ d: c5 ]1 y
2 E4 M+ x* H1 n3 {- r' l[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
) B9 d; C4 K) I7 G+ r
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
/ A' [3 ~% M/ J  h; L/ B4 ]Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.