出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
; C( {6 \4 `4 K1 r
2。下边证明有没有毛病？
) [  t' l2 g6 I% p3 n# ^$ ^
6 ?! a2 }2 a9 U( ]/ D; Y7 D设  a=b
9 x& C! R" {" g; [
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

8 w( ~3 B5 {! s6 ]! T4 Qa(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
1=2
+ l8 |2 O- o1 R5 C" r5 ~1 ^# s
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
# I7 z8 H% l& K, N5 n+ \# n" U2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
3 j- S6 D- _2 v4 ^1 {

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

" P) W, \# s3 W$ Z1 F! m+ ^Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
. e- ^1 X, P( B% [7 X! B4 `                                     K^3 – K can by divided by 3.

  P& S4 l9 T+ y" m4 ?9 z$ iNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
2 ^3 I3 B. C4 [0 vSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
0 }/ J. r1 h" U! f                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
8 O# f, ~3 [- B; L: Y4 O3 g
! N) I& V# H: H  WConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
# G& c, O% Z2 C! x8 ?+ k
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

; h: h& H" t# ^7 w: s3 o
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.