出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
6 d: N/ W1 n" r+ A7 z$ p, ~5 b- t7 n
2。下边证明有没有毛病？
# V) t& h+ ]" v4 [( W. N
设  a=b
0 m5 E; _9 L: Q4 l. Q" X
- P& G0 U% e% L4 t) b8 U则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
1=2

# _* p' n# I# w. q证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
4 \  T6 x1 K5 k" r# Y
7 l' e! ^) w1 o1）不能。比如1
" j2 j+ c2 x, b3 {* N9 m2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
* g7 b# g, m2 }# I9 c( l* k) k; H4 L2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

+ P  [( w2 U* @9 S: j2 d0 M看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
2 n. k" r+ j  k% _  {0 S# y3 C1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

6 Q# \0 K0 _% E  w7 {) F& F为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
# H. B# z2 b# ^6 _# S! ]
4 v- Z/ L' [% K# d- m+ `Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
6 S$ v4 v3 ?; z. |1 G# G
/ Z2 Q3 _1 E/ ~- W! `- CInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
% Z# [3 [) r* b% U3 j) r& h9 E                                     K^3 – K can by divided by 3.
& f  F4 R. {# m1 ~8 E  @
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
. g% `7 I& |- \6 rsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
0 j$ H* R) Y# W% l7 |6 OThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
- D; q/ j5 A8 I: f4 d. A                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
8 h! l: M+ K7 d+ s2 i, y) @6 \                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
9 S) g# z4 g. b( b4 s' Q, A                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
! d/ f, V+ p6 p- z
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

& r8 x& c& v0 N7 m% D+ f[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
# p6 x& |  |; N3 P
9 k1 @! v0 |2 \) z第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

) [0 Z4 T) r# @$ P2 M5 e0 N( |
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.