出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

: \6 K, Z& l. S, C2。下边证明有没有毛病？
  G$ ]6 r) C6 v, I8 Q  X0 e
  J' }, B* b" `! u' F3 E( i) T$ g设  a=b

. w8 q5 i5 o$ ^, l/ r* C则有： a*a-a*b=a*a-b*b
8 f, C1 T' V1 e4 L/ Q. ?两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
; }) F7 Z, s4 s
6 o; m2 ^4 ?! v7 ]a(a-b)=(a+b)(a-b)
0 J! H) \! C3 r, H" aa=a+b
a=2a
1=2
' ~3 N4 H6 F% D6 `& v) `
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
0 K' I$ {9 T3 m3 ^! D
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
3 L* w. Y5 O6 q' P( u1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
; ~6 Z4 `* p$ f$ l2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

: F0 P, O+ {5 a% z: `: }$ W" m看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
. l% g+ d& ?* r5 M8 A8 n* f1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
* t3 v# C$ s7 Y* h2 \0 N

8 {: r3 r* ^3 @( O6 J5 ^为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

9 i* s' |2 _3 T5 ?: d  H' x' iProof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
9 a6 B4 a0 ?& U  _
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
9 M& G/ N- W( y; v6 p: Y3 B                                     K^3 – K can by divided by 3.
9 p0 x9 `( o1 ]5 Y# t. Z7 e9 @
: F9 ^2 I; t1 h2 Y2 |Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
& H& k: }$ z% F$ @since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
/ ^4 Q& m8 ?8 x7 W# g% w& i! ZThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
# _2 U- w) G! Z                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
! g2 }+ i. E, A2 U" }. s                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
) j4 n) m  o$ `So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
" F. s: k- b+ g# L) o                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

" ^( Y  _9 `% r8 S$ R" ^' g5 yConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
. B+ x* J! X. b9 [0 T5 O& f
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
$ \& g5 Q  t" r* b+ |0 L
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
: k# z" w+ F! c! k! WShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

! @. n9 G2 X0 a2 {, [9 o
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.