出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

$ ]6 D7 x" P8 \" u5 R则有： a*a-a*b=a*a-b*b
  D4 F) d5 n/ n/ ]两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

4 ^6 q! W" x+ T9 e* Ja(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
+ Q, s; a6 ]/ i/ z7 R6 o' j& `: Pa=2a
1=2
! c0 W+ \- P! C. D# j
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

: n; ~$ f1 I0 s, u4 [/ W) `5 K1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
) o- T! v/ D# d% [: i) N2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
+ r/ ~' t) |# b5 ]$ T1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
# f& v( s1 o$ u2 i* D( k2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
# v1 L1 {6 l+ L1 x& t! r  G: t

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
& S  l  w" z4 x5 U" L; T/ ?Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
9 Q8 l4 l. @& |+ m! X" y( V. H         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
; h" K3 R: B% u$ T" H/ q& t+ E
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
8 m% W. J" b- ~6 t% f2 R. m8 rsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
: }1 x1 v5 n5 F; j9 a, s+ D- d' G                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
) a9 b& ^4 A+ Z5 e% Eby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
2 V0 F7 T/ h, s% T9 v' r* j                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

( ^' @% X  Z0 W* ^* aConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
2 O6 j/ P, b2 l$ {
9 R2 e) J* q; W2 ?[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
* h2 ~0 m# Z4 o/ s# LShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

6 W$ N; g6 k+ H6 o* z! A( x
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.