出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
+ U. o% ?6 ]! _  z+ F* Y1 T
! A1 E7 K# |+ l- _2。下边证明有没有毛病？
) e2 q8 M2 H0 t2 L
设  a=b
8 r' x/ K# x7 Q0 o9 J, c  B
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
, A+ C3 n9 B$ V+ s1 M7 R两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
$ e1 b7 A2 y/ }
- ?# s, ~8 s7 P! q9 u; l6 Ta(a-b)=(a+b)(a-b)
' l3 i8 z# i4 `7 P! k+ U& I3 y; ma=a+b
; D8 e0 \' g' `( y3 M3 f7 L7 va=2a
1=2

; C( ^5 r  k" C5 l/ q4 p: y2 @" U& F证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

  j" G# ~, E. u1）不能。比如1
# W0 U8 m& e. k6 y! U& Q/ w2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
  D% V; O# L1 }1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
' S0 x- y2 X& `' y* z/ S5 P4 h1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
9 S2 f/ q: m8 s  ^1 t' [Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
. D0 T1 o6 q( `7 b0 d$ p6 u1 }         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
, q& `4 A, h) @! d
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
4 [/ a4 P' Z* a                                     K^3 – K can by divided by 3.
" {6 R& B0 Q* i, k) E3 W  z$ D
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
% }: u$ E) N4 Msince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
, g2 o. l$ b/ s4 y0 AThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
6 \' ^, C! y+ H3 aby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
; v$ S6 ?2 A, }, e+ L) e8 j( rSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

5 K" ~. T9 \2 r9 t6 k5 ?$ \Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

" P9 T, r7 p# S# {[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
$ x5 H4 N% T4 X  q5 e; k& w, x
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

" s" i- m( X2 m0 o0 NSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.