出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

* o- T+ D# x2 {- E' ]2。下边证明有没有毛病？

设  a=b
9 b/ O, [# J5 \' ~8 m0 Y6 e
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
8 G. Q' |5 _+ Y1 S- v8 p两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
1 y* ~) H0 S7 E( }! v) s5 d
% ]; I# J& a9 _0 i' q7 p7 Qa(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
" K, R  j* U/ J+ w/ ]1=2
% C# F% _1 A0 U  j7 t
, M; T5 c" u5 }$ W! [) ]证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
3 v& _$ ~- v; A. z2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
) n( U% a  m% H) h# ~5 m2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

2 r% {# V, U$ A( M( h4 Z: ~; K看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
, t  A) O) ^% u0 g, O0 ?! t1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

. R$ u' G( ?. U* P5 N0 g5 W为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
1 t( S9 s6 B( J! N6 O5 O2 @3 z% b. e
Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
- q, }% g$ w- _' T         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
: z5 z, H- A; e6 V. Z* o
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
4 c) z0 Z; n5 ^- s$ m                                     K^3 – K can by divided by 3.
+ ?( @; ?  }% I7 q4 ?/ I( q
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
, Q* [  s4 Z$ z: g3 a* D. j' {/ cThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
6 \% t5 l4 T6 ]: K; W4 u2 F                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
4 `0 q4 h; |5 p. s                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
! `  S1 s" Z. A) T, l( ]So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
* x8 T% S! M, ^: _$ B, E. T                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
6 B, z1 i1 [+ |' T# s2 C* |0 E
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
  g4 u7 ?& x5 O8 G9 S, O0 c
8 ?7 ^! l5 W" n# W( s0 Z4 X/ p第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.