出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
( J( h- y4 [) u$ m; m/ A$ x
2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

6 t2 D( Y& ^7 U4 A. o( o+ {3 N则有： a*a-a*b=a*a-b*b
# V1 e& @" {* m% o两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
9 W  y' g- |! K# J5 s* C& z4 C
( {* w# K/ S1 O+ W5 L  \; q# Ta(a-b)=(a+b)(a-b)
; {" W  v/ ^. S: H0 P9 ka=a+b
a=2a
1=2
5 F; I2 Q* @% a
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
9 ^3 k! F% E6 P7 s: \
1）不能。比如1
( S" F4 W( ]0 Q3 @6 j2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
" `( K8 {: v# m: P0 d& a2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
5 p# o5 Y: [; w) L; t1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

/ ]+ L* ?0 e$ _& X看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

+ g* ]/ O3 @# W0 s! FProof:
Let n >1 be an integer
3 v8 B5 L+ U" `) z2 j9 uBasis:   (n=2)
! r! \; C6 m& u( i+ V         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
$ K& ?6 M6 v& w
" `+ \5 [' x+ f5 P9 Q# @8 D& MInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
9 Q+ u& h- U: g( F/ z0 {/ y/ z  T8 q
3 V7 J! B+ o9 T- ENow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
1 {  C! q. C. Z% b; Y0 y  r% rsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
7 H+ D, B+ g& iThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
  k# v' e$ h5 I6 v6 i' I! |: I% K                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
. _9 R4 o! n2 L/ I7 Hby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
3 \1 E/ T1 n3 W& ^" B7 N% y" uSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
- ?( K" h# c  Y# B                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

/ h3 ^6 m& \) a, yConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
: ]. N5 H1 i  X/ C
) q7 f5 r+ F6 g[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

2 ]  A! U) x; q/ }# _第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
4 @% {/ T' u* t' MShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.