出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

5 P9 i7 e3 @2 o  u则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

; h$ D8 V- z3 G6 N: a% B  u) Va(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
, Y& D# T! J  r2 c2 Aa=2a
# n# J, [" _: k9 O, m2 i, |1=2
4 \, ?) M7 ^6 F% C  F/ \
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
: G4 J6 R. c- k
3 U# b2 c$ n/ j8 H% t1 q1）不能。比如1
- ]6 a0 X; l+ Q' w0 n" O, K# v2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
* ^  w+ E( a- L; A$ A; c2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
$ k7 q  v* f; n! R5 @3 o" k) p. \2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

: J& u) V4 F5 }6 E4 k5 f. ]看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
: P7 f6 N: h6 W3 s: [  Y( f1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
* P1 t2 z( y- `! Y

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
+ |7 Q% Q3 M2 I3 d3 ^3 A         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
, I$ i. h, S: m/ A7 a4 w
' M. m6 O1 Q0 S% o  D( R; D& b# k  ~Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
& \2 h3 X: I% R: @5 uThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
9 T, I$ W; X5 @; I" tby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
% Q2 N8 a( G! Q" v0 m; U) [
6 P2 @, f# y3 l8 Q3 L8 nConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
. ?, r: q  a- b# v8 k
' r8 J* l2 U# C0 C[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
  c6 r7 ?( i0 M4 n/ E( F
/ y+ G) m, q  w4 E3 A1 n1 O第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
* A- I6 B% G$ l' k$ b. G4 NShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

7 u: m" y& k. r$ kSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.