出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？

设  a=b
$ |; J8 C0 c( g* q
. u$ h& ^, j+ b+ y2 B0 j2 Y则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
( r8 A" G4 i" l
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
/ p/ M5 ~- {$ {: Ha=2a
' ^8 J9 u0 p8 h  ?2 q) O: Z1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
( c& P% \: D7 q. B) p6 R
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
% Y, [+ g" a& S5 M1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

% B3 v. {1 w, W看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
1 |+ r3 V# B& ?( y2 j3 r

0 W3 D, T$ y1 K4 e$ q2 M' @* A为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
/ }1 e. B3 o/ {4 S5 OBasis:   (n=2)
  m0 ]5 O5 g, C9 e- r         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
7 r3 }, b4 N' H8 w' O5 F+ s- d" \8 m                                     K^3 – K can by divided by 3.

: Z: `' e9 P% W& z! D& YNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
! i4 [$ O; H+ Xsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
& \# l' }3 e3 `' K# R% e& S- m! N                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
! b2 o  T: d) CSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
5 d! L! G* ^4 c& r) b9 l                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
: \; C( A( A5 v3 ?. }$ U# R9 w                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

& F3 H& ~' v. v: Y2 J, N$ U. Q" R第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

7 u9 U; C3 L! w9 s* }+ G( ~
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.